Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV) adalah sistem persamaan matematika yang terdiri dari dua persamaan linier dengan dua variabel yang tidak diketahui. Secara umum, SPLDV dapat dituliskan dalam bentuk:
$ax + by = c$
$dx + ey = f$
di mana x dan y adalah variabel yang tidak diketahui, dan a, b, c, d, e, dan f adalah konstanta yang diketahui. Tujuan dari SPLDV adalah mencari nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut secara bersamaan.

A. Kompetensi Dasar
3.5 Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya yang dihubungkan dengan masalah kontekstual.

4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel.

B. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini diharapkan dapat :

- Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya yang dihubungkan dengan masalah kontekstual.

-Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel.

C. Materi

1. Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)
Perhatikan beberapa contoh persamaan berikut!
a. $2x+2y=1$
b. $\dfrac{m}{n}-\dfrac{n}{2}=5$
c. $5p+6q= -20$

Dari contoh tersebut tampak bahwa persamaan (a), (b), dan (c) mempunyai dua variabel dan masing-masing dua variabel berpangkat satu. Variabel pada persamaan (a) adalah $x$ dan $y$, variabel pada persamaan (b) adalah $m$ dan $n$, sedangkan variabel pada persamaan (c) adalah $p$ dan $q$. Persamaan (a), (b), dan (c) adalah contoh persamaan linear dua variabel.

Catatan :
Persamaan linear dengan dua variabel dapat dinyatakan dengan bentuk $ax+by=c$ dengan $a,b,c\in\mathbb{R}$ dan $a\neq0$, $b\neq0$.

Penentuan solusi (penyelesaian) Persamaan Linear dua variabel PLDV)  dapat dilakukan dengan cara menerka atau dengan melakukan operasi aljabar.

Contoh :

Tentukan solusi $(x, y)$ pada bilangan bulat non negatif yang memenuhi persamaan $4x+3y=12$

Penyelesaian :

$(x, y)$ bilangan bulat non negatif, berarti $(x, y)$ merupakan bilangan cacah.

Jika $x=0$ maka :

$4x+3y=12$

$0+3y=12$

$3y=12$

$y=4$,      $4\in\mathbb{C}$

Jika $x=3$ maka :

$4x+3y=12$

$4x3+3y=12$

$12+3y=12$

$y=0$,      $0\in\mathbb{C}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {$(0, 4), (3, 0)$}

2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear dua variabel dalam variabel yang sama.

Bentuk umum :
$\left\{\begin{matrix} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{matrix}\right.$

Contoh :

1. $\left\{\begin{matrix} 2x+y=-5\\ 3x+5y=-4 \end{matrix}\right.$

2. $\left\{\begin{matrix} y=3x-2\\ 2x+y=8 \end{matrix}\right.$

Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat dilakukan dengan menggunakan beberapa cara, yaitu metode grafik, metode substitusi, metode eliminasi serta gabungan metode sustitusi dan eliminasi.

a. Metode grafik

Penyelesaian dengan metode grafik dari SPLDV merupakan titik potong (persekutuan) antara dua garis yang menggambarkan 2 PLDV dalam koordinat kartesius.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $x+y=5$ dan $x-y=1$, untuk $x, y\in \mathbb{R}$ dengan metode grafik.

Penyelesaian :

Tentukan titik potong garis-garis pada sistem persamaan dengan sumbu-sumbu koordinat terlebih dahulu seperti pada tabel berikut.

$x+y=5$

x	0	5
y	5	0
(x, y)	(0, 5)	(5, 0)

$x-y=1$

x	0	1
y	-1	0
(x, y)	(0, -1)	(1, 0)

Berdasarkan koordinat titik potong yang diperoleh, maka grafiknya adalah sebagai berikut :

Gambar dari FX-Graph

Koordinat titik potong kedua grafik tersebut adalah (3, 2). dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $x+y=5$ dan $x-y=1$, untuk $x, y\in\mathbb{R}$ adalah {$(3, 2)$}

b. Metode substitusi (Penggantian)

Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel menggunakan metode substitusi adalah dengan cara menyatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain pada suatu persamaan. 

Contoh :

Gunakan metode substitusi untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $5x+5y=25$ dan $3x+6y=24$ untuk $x, y\in\mathbb{R}$!

Penyelesaian :

$5x+5y=25$...........$(1)$

$3x+6y=24$...........$(2)$

Perhatikan persamaan $(1)$

\(\begin{array}{lllll}5x + 5y &=25&\Leftrightarrow 5y&=25-5x\\&&\Leftrightarrow y&=5-x\end{array}\)

Kemudian nilai $y$ ini disubstitusikan pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh :

\(\begin{array}{lclclcl}3x + 6y &= &24\Leftrightarrow 3x+6(5-x)&=&24\\ &&\Leftrightarrow 3x+30-6x&=&24\\&&\Leftrightarrow 3x-6x&=&24-30\\ &&\Leftrightarrow -3x&=&-6\\&&\Leftrightarrow x&=&2\end{array}\)

Nilai $y$ diperoleh dengan menyubstitusikan nilai $x=2$ pada persamaan $(1)$ atau persamaan $(2)$ sehingga diperoleh :

\(\begin{array}{lclclcl}5x + 5y &= &25\Leftrightarrow 5\times2+5y&=&25\\ &&\Leftrightarrow 10+5y&=&25\\&&\Leftrightarrow 5y&=&25-10\\ &&\Leftrightarrow 5y&=&15\\&&\Leftrightarrow y&=&3\end{array}\)

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan $5x+5y=25$ dan $3x+6y=24$ adalah {$(2, 3)$}

c. Metode eliminasi (Menghilangkan salah satu variabel)

Metode eliminasi dilakukan dengan cara mengeliminasi (melenyapkan) salah satu variabel dan variabel yang akan dieliminasi harus mempunyai koefisien yang sama. Jika koefisien variabel tidak sama maka harus mengalikan salah satu persamaan dengan suatu konstanta sehingga ada variabel yang mempunyai koefisien yang sama.

Contoh :

Diketahui suatu persamaan $2x+y=8$ dan $x-y=10$ dengan $x, y\in\mathbb{R}$. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi!

Penyelesaian :

Dari kedua persamaan tersebut, koefisien yang sama adalah variabel $y$ maka variabel $y$ yang akan dieliminasi dengan cara dijumlahkan. Dengan demikian diperoleh nilai $x$ sebagai berikut.

\(\frac{\begin{aligned}2x+y&=8\\x-y&=10\end{aligned}}{\begin{aligned} 3x&=18\\x&=6\end{aligned}}+\)

Selanjutnya variabel $x$ akan dieliminasi:

\(\begin{aligned}2x + y = 8 |\times 1|\\x -y = 10 |\times 2|\\ \end{aligned}\\\)

Diperoleh :

\(\frac{\begin{aligned}2x+y&=8\\2x-2y&=20\end{aligned}}{\begin{aligned} 3y&=-12\\y&=-4\end{aligned}}-\)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {$(6, -4)$}

Catatan :

Sistem persamaan linear juga dapat diselesaikan menggunakan metode gabungan dari substitusi dan dan eliminasi. Metode ini disebut metode campuran. Caranya : Selesaikan SPLDV dengan menggunakan metode eliminasi, kemudian lanjutkan dengan menggunakan metode substitusi. 

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $2x+y=5$ dan $3x-2y=11$, $x, y\in R$ dengan metode campuran.

Penyelesaian :

$2x+y=5$  .........$(1)$

$3x-2y=11$.........$(2)$

Dari kedua persaaan tersebut tidaka ada koefisien variabel yang sama sehingga salah satu koefisien variabel harus dibuat sama dengan cara mengalikan kedua persamaan bilangan dengan suatu bilangan. Misalkan koefisien variabel $x$ akan disamakan, maka persamaan pertama dikalikan $3$ dan persamaan kedua dikalikan $2$

$\begin{aligned}2x + y = 5 |\times 3|\\3x-2y = 11|\times 2|\\ \end{aligned}\\$

Diperoleh :

$\frac{\begin{aligned}6x+3y&=15\\6x-4y&=22\end{aligned}}{\begin{aligned} &7y&=-7\\&y&=-1\end{aligned}}-$

Dengan menyubstitusikan nilai $y=-1$ ke salah satu persamaan, misalkan persamaan pertama, diperoleh :

$\begin{array}{lllll}2x + y &= 5&\Leftrightarrow 2x-1&=5\\ &&\Leftrightarrow 2x&=5+1\\&&\Leftrightarrow 2x&=6\\&&\Leftrightarrow x&=3\\\end{array}$

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah {$(3, -1)$}

Menyelesaikan Soal Cerita yang Berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Penyelesaian soal cerita yang berhubungan dengan sistem persamaan linear dua variabel dapat dilakukan dengan menerjemahkannya dalam kalimat matematika (model matematika) terlebih dahulu, kemudian baru diselesaikan sistem persamaannya.

Contoh :

Harga lima buah meja dan delapan buah kursi adalah Rp 1.150.000,00;sedangkan harga tiga buah meja dan lima buah kursi adalah Rp 700.000,00. Tentukan harga masing-masing meja dan kursi!

Penyelesaian :

Misalkan harga meja =$x$ dan harga kursi =$y$ sehingga diperoleh persamaan :

$5x+8y=1.150.000$.........$(1)$

$3x+5y=700.000   $.........$(2)$

Penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah sebagai berikut :

$\begin{aligned}5x + 8y = 1.150.000 |\times 3|\\3x +5y = 700.000 |\times 5|\\ \end{aligned}\\$

Diperoleh :

$\frac{\begin{aligned}15x+24y&=3.450.000\\15x+25y&=3.500.000\end{aligned}}{\begin{aligned} -y&=-50.000\\y&=50.000\end{aligned}}-$

Dengan menyubstitusikan nilai $y=50.000$ ke salah satu persamaan, misalkan persamaan kedua, diperoleh :

$\begin{array}{llll}3x +5y&=700.000&\Leftrightarrow3x+5(50.000)&=700.000\\ &&\Leftrightarrow 3x+250.000&=700.000\\&&\Leftrightarrow 3x&=700.000-250.000\\&&\Leftrightarrow 3x&=450.000\\&&\Leftrightarrow x&=150.000\\\end{array}$

Jadi, harga meja adalah Rp 150.000,00 dan harga kursi adalah Rp 50.000,00

D. Evaluasi

Setelah mempelajari materi persamaan linear dua variabel, silahkan kerjakan latihan berikut untuk mengetahui pemahaman tentang materi tersebut.

1. Jumlah dua bilangan adalah 28 dan selisihnya adalah 12. Bilangan-bilangan tersebut adalah ...

A. 8 dan 20

B. 10 dan 18

C. 12 dan 16

D. 14 dan 14

2. Umur Ali sekarang 30 tahun. Enam tahun yang lalu, umur Ali tiga kali umur Budi. Umur Budi sekarang adalah ...

A. 8 tahun

B. 10 tahun

C. 14 tahun

D. 24 tahun

3. Perhatikan grafik berikut :

Gambar dari   FX-Graph
 

Persamaan linear yang memenuhi grafik tersebut adalah ...

A. $2x+3y=3$

B. $2x+y=9$

C. $2x+y=3$

D. $3x+y=2$

4. Himpunan penyelesaian dari persamaan $3x-2y=7$ dan $2x+y=14$ adalah {$(a, b)$}. Nilai $a+b=...$

A. 9

B. 7

C. 5

D. 4

5. Di suatu perkebunan terdapat 13 ekor hewan terdiri dari ayam dan kambing, sedangkan jumlah kaki-kakinya ada 38 buah. banyak kambing di ladang tersebut adalah...

A. 5 ekor

B. 6 ekor

C. 7 ekor

D. 8 ekor

Semoga postingan : Sistem Persamaan Linier Dua Variabel ada manfaatnya. Salam Bahagia 👍

Related Posts